Теорія ігор. Ринок бананів

доповідач: Боровський Денис Володимирович
керівник: Сватула Тамара Іванівна

РОЗДІЛ І
ТЕОРІЯ ІГОР: ВІД ВИНИКНЕННЯ ДО СУЧАСНОСТІ
1.1.Історія виникнення теорії
Для дослідження даної теорії необхідно ознайомитись з історією та основними аспектами її виникнення. Це важливо у контексті її прогресу від перших днів до сучасності, оскільки на сьогоднішній день Теорія ігор дає змогу  передбачати безліч можливих ситуацій у будь-якому конфлікті.
Вже  в XVIII столітті деякі дослідники пропонували оптимальні стратегії. Як правило, це стосувалося задач ціноутворення та виробництва, серед яких особливо виділялись роботи Ж. Бертрана та А Курно. Згодом Е. Ласкер, Е. Цермело, Е.Борель пропонують світові ідею математичної теорії конфліктів.
Виникнення Теорії ігор починається з того, що вже в середині ХХ століття базові принципи економічної теорії продемонстрували свою неспроможність. Критичною проблемою стала відсутність актуальної методології прийняття будь-яких кроків учасниками ринку. Дослідники Джон фон Нейман та Оскар Моргенштерн у своїх роботах дійшли висновку, що на специфіку поведінки учасника ринку впливають не тільки його особисті наміри і стан, але й аналогічні показники його конкурентів. Виявляється, що на час виникнення Теорії ігор, існуючі моделі прийняття рішень не враховували всі існуючі чинники ринку, зокрема, конкурентоспроможність, тому були відірваними від реалій економіки.
В своїй роботі «Теорія ігор та економічна поведінка» Нейман і Моргенштерн сформулювали поняття «гри», як діяльності двох і більше осіб, що має умови т.з. «виграшу». Важливо зазначити, що учасники такої «гри» можуть використовувати певні «ресурси» та взаємодіяти між собою. Отже, приймають будь-які рішення із урахуванням поведінки інших учасників. Автори математично описують засоби пошуку оптимальних стратегій – тих, що призводять до виграшу.
В 1949 році видатний американський математик Джон Неш, що писав
наукову роботу з Теорії ігор, припустив у своїй дисертації, що можуть існувати моделі, в яких учасники не конкурують між собою, а, навпаки, кооперуються для досягнення спільної мети. Окрім того, науковець ввів поняття «гри з ненульовою сумою», що передбачала динамічність розміру виграшу. У такій моделі виграш не являється константою, його розмір залежить від дій гравців.
Дисертація американського математика стала справжнім проривом в дослідженні Теорії ігор і згодом Неш був нагороджений  Нобелевською премією. А на сьогоднішній день досліджувані ним моделі використовуються  в багатьох наукових сферах: економіці, політології, психології, конфліктології, юриспруденції, тощо.
 
1.2. Основні положення
         Для подальшого дослідження необхідно визначитись з основними термінами, що використовуються в більшості наукових робіт з Теорії ігор.  Білоруський науковець М. Писарук у своїй роботі «Введення в Теорію ігор» дає наступне визначення  поняттю «гри». «Неформально, гра – модель конфліктної ситуації, в якій приймають участь n осіб (гравців), задані правила гри (спосіб прийняття рішень для кожного з гравців), визначені правила здійснення платежів між гравцями»[5;5].
Автор зазначає, що на сьогоднішній день існує безліч класифікацій в Теорії ігор, але, зазвичай, їх розрізняють за кількістю гравців, кількістю стратегій, характеру взаємовідносин між гравцями, за властивостями функцій виграшу, за кількістю ходів, за інформованістю гравців, тощо.
За кількістю учасників ігри бувають: з одним гравцем, двома гравцями, n-кількістю гравців.
За кількістю стратегій М. Писарук поділяє ігри за кількістю стратегій на кінцеві та нескінченні. Економічний словник Лопатнікова дає наступну класифікацію: «Кінцеві ігри – клас ігор, що характеризується, тим, що у кожного гравця є певна кінцева кількість альтернатив»[2;149]. Натомість,  нескінченні ігри передбачають умови, коли, принаймні, один з гравців має нескінченну кількість стратегій.
За характером взаємодій вирізняють безкоаліційні та кооперативні ігри. Умови безкоаліційних ігор передбачають, що учасники не укладають між собою жодних угод. В кооперативній грі передбачається взаємодія між гравцями з метою збільшення свого виграшу.
За кількістю ходів розрізняють одноходові та багатоходові ігри. Окремо слід відзначити позиційні ігри – моделі, де учасники послідовно роблять ходи, а їх виграші залежать від стратегії вибору ходів.
У контексті дослідження Теорії ігор важливо згадати про поняття «рівноваги». Рівновага за Джоном Нешем – ситуація, в якій жоден з гравців не може збільшити свій виграш за умови одноосібної зміни стратегії. Іншими словами, рівновага – ситуація, за умови якої найкращою реакцією на дії опонента є вже діюча стратегія учасників.
Приклади рівноваги Неша дуже часто зустрічаються на економічному ринку. Наприклад, існують дві фірми-олігополіста – А і В.  За умови, якщо вони домовляться одночасно та рівно збільшити вартість своєї продукції, обидві фірми отримають чистий прибуток, скажімо, на 20%. Але існує реальний ризик того, що ці домовленості можуть бути порушені будь-якою з фірм, оскільки вони, передусім, є конкурентами. Отож, якщо фірма А порушить договір і знизить ціни, то вона отримує чистий прибуток на 30%. В той час фірма В отримає лише 10% чистого прибутку. Тому в реальній ситуації фірми кортять тримати ціни відносно низькими, але гарантовано отримувати, скажімо, 15% прибутку і не ризикувати отримати менше.
У контексті дослідження Теорії ігор слід пам’ятати, що розвиток гри у часі регламентовано рядом послідовних етапів – ходів. Ходом називається вибір учасником одного з можливих варіантів у конкретній ситуації. Ходи бувають особисті та випадкові. Прикладом особистого ходу слугує будь яка хода фігурою у шахах. Прикладом випадкового може бути будь-яка комбінація, що не залежить безпосередньо від учасника: підкидання монети, гральної кості,
7
тощо. Важливо зазначити, що існують ігри, що складаються тільки з випадкових ходів (азартні ігри), та тільки з особистих ходів (шахи і шашки).
Більшість існуючих ігор, що мають практичні аспекти, не належать до класу ігор з повною інформацією. Невідомість щодо дій опонента, здебільшого, являється основоположним чинником будь-якої конфліктної ситуації.
Одним з ключових термінів Теорії ігор є поняття «стратегія». «Стратегією гравця називається сукупність правил, що визначають вибір учасника при кожному особистому ході з урахуванням ситуації, що склалася в процесі гри»[Купалова Г.І. «Теорія економічного аналізу»; 8].
Зазвичай, вибір при кожному особистому ході приймається учасником, безпосередньо, в процесі гри і в залежності від ситуації, що склалася. Але також можливо припустити, що всі рішення були передбачені учасником заздалегідь. Теоретично це можливо: учасник завчасно склав перелік всіх можливих ситуацій і передбачив своє рішення для кожної з них.
Якщо така система вибору ходу має місце практично, її можна вважати стратегією.
Використання стратегії – важливий аспект функціонування економічного ринку. В роботі ми досліджуватимемо стратегію, як засіб створити ідеальну модель для всіх учасників «гри».
РОЗДІЛ ІІ
ДОСЛІДНИЦЬКІ АСПЕКТИ
2.1. Стратегія, як засіб створення ідеальної моделі «гри»
Кожен учасник «гри» має на меті «виграш». Як правило, жоден з учасників не має наміру програти (якщо це не зумовлено стратегією)  у грі. А отже, кожен учасник буде прагнути за допомогою ходів отримати перевагу на свою користь. Та чи можливо задовільнити всіх гравців одночасно?
Згідно з Теорією ігор абсолютно задовільнити всіх учасників неможливо. Проте видобути максимально можливу (задовільну) користь із ситуації для всіх сторін-учасників є цілком реальним. Теорія ігор досліджує також моделі, які дозволяють максимально задовільнити всіх «гравців».
Вищезазначений аспект є особливо актуальним для економіки. Розглянемо ситуацію на прикладі «продавець-покупець». Я пропоную свою гру, яка передбачає ідеальний виграш у конфліктній ситуації між двома гравцями.
Уявимо собі, що особистість, на ім’я Нанік вирішила купити собі комп’ютер. Гаджет не може бути новим, бо у особи Нанік нема грошей, щоб купити новий комп’ютер з магазину, тому він звернувся до друга, на ім’я Дрюлік. Річ у тому, що Дрюлік має рівну частину поганих та добрих гаджетів для використання.  Скажімо, комп’ютер, який добре працює, бути зватися авокадо, та мати ціну 3000 грн. при залишковій вартості 2500 грн., а комп’ютер, який працює погано, має назву банан, та коштує 1800 грн. при залишковій вартості 1550 грн.  Покупець  не має ніяких свідчень про технології, які  надає продавець. Тому Наніку треба буде обрати собі комп’ютер випадковим чином: із ймовірністю ½ , що він обере добрій комп’ютер, та із ймовірністю ½, що обере поганий комп’ютер для використання.  Тому покупець, який знає найкращі моделі гри у конфліктній ситуації, буде пропонувати продавцю середню ціну ( 3000 +1800) :2 = 2400 грн. Якщо обраний гаджет виявиться добрим, то продавець Дрюлік не
захоче віддавати комп’ютер, бо він залишиться в програшній ситуації, його
9
дохід буде складати 2400 — 2500 = — 100 грн. виявиться від’ємним числом. Якщо ж обраний комп’ютер виявиться поганим, то продавець Дрюлік віддасть його за бажану суму, його дохід буде складати 2400 – 1550 = 850 грн. З цієї стратегії я хочу вивести формулу.
Щоб дізнатися якість товару, треба знайти середню ціну для пропозиції продажу.
( а + в ): 2 = с
Деа — ціна першого об’єкту, в – ціна другого об’єкту, с —  середня ціна.
Оскільки покупець може купити поганий комп'ютер за середню ціну, то йому не вигідно купувати за 2400 грн., якщо він може купити його за 1300 грн. При такому розкладу дій, Нанік пропонуватиме завжди 1550 грн. При такому збігу обставин середній дохід продавця буде складати
0,5 ( 1550 – 1300 ) + 0,5 × 0 = 125,
Хоча продавець розраховує на другий прибуток
0,5 ( 1550 – 1300 ) + 0,5 ( 3000 – 2500 ) = 125 + 250 = 375
при повній інформації покупців чи  купівлі всіх видів речей.  Але згідно з теорію, покупець залишиться в безпрограшній ситуації. Тоді продавець повинен буде знизити ціну на комп’ютери чи зовсім перестати продажу. Тому продавцю треба якимось образом краще інформувати ( давати  сигнали), щоб зацікавити покупця.
2.2 Ситуація на прикладі  «продавець – покупець». Сигнальна гра «Ринок бананів»
Як і раніше вважаємо, що продавець Дрюлік має однакову кількість добрих та поганих комп’ютерів, і, що покупець не може розрізнити якість цих речей. Щоб забезпечити собі вигідну угоду, Дрюлік вирішив давати на деякі гаджети, що продає, гарантію на один рік, яка повністю закриває витрати на ремонт. Відомо, що на протязі всього року ремонт поганого комп’ютеру буде коштувати 500грн., а доброго – 50 грн. Бо справні комп’ютери на протязі року не вимагають ремонту.
Наша гра буде складатися  таким чином: спочатку покупець обирає гаджет.
10
Це випадковий хід, бо Нанік не може відрізнити поганий комп’ютер (банан)  від доброго (авокадо).  Після цього продавець говорить, дає він гарантіє на рік чи не дає. Потім покупець пропонує свою ціну:  1250 грн. чи 3000грн. Угода відбудеться за винятком випадку, коли за хороший комп'ютер була запропонована ціна 1550 грн.
У решті ми отримуємо кінцеву сигнальну гру, у якій багато типів відправника Т= ( П, Д ), безліч типів відправника Б=( Г, Н ), а безліч дій одержувача А=(1550, 3000), де об означення для типів, повідомлень та дій наступні: П – поганий комп’ютер, Д – добрий комп’ютер; Г – комп’ютер продається з гарантією, Н – нема гарантії на комп’ютер; 1550 – запропонувати ціну 1550 грн., 3000 – запропонувати ціну 3000 грн.
Уяву отримувача о типах відправника отримаємо наступні:
µ( П ) = µ( Д ) = ½ .
Уявимо нашу сигнальну гру у такому вигляді, як на малюнку 1.  

Малюнок 1.
До речі, для кращого сприйняття обчислень, введемо назви. Добрий комп’ютер, який має ціну 3000 грн., буде мати назву Д1, 2500 грн. – Д2. Отже, поганий комп’ютер з ціною 1800 грн. – П1, а з 1550 грн. – П2.  Треба звернути увагу, що при обчисленні кращої ситуації для гравців, ми не забуваємо про компенсацію продавця на ремонт комп’ютера:
Дрюлік( t1) = ( П1 – П2 – Г) = (не вигідно),
Нанік ( t1 ) = (П1 + Г – П2) = (вигідно),
Дрюлік ( t2) = ( Д1 – П2 – Г ) = (вигідно),
Нанік ( t2 ) = ( П1 + Г – Д ) = (не вигідно),
Дрюлік ( t3 ) = (П1 – П2) = (вигідно),
Нанік ( t3 ) = ( П1 – П1) = ( не вигідно),
Дрюлік ( t4 ) = (Д1 – П2) = (вигідно),
Нанік ( t4 ) = ( П1 – Д1) = (не вигідно),
Дрюлік ( t5 ) = (0),
Нанік ( t5 ) = (0),  
Дрюлік ( t6 ) = (Д1 – Д2) = (вигідно),
Нанік ( t6 ) = (Д1 – Д1) = (не вигідно),
Дрюлік ( t7 ) = (0),
Нанік (t7 ) = (0),
Дрюлік ( t8 ) = (Д1 – Д2 – Н) = (вигідно),
Нанік ( t8 ) = (Д1 + Н – Д1) = ( вигідно ). 
Тепер підставимо в ці формулі данні числа і отримаємо:
Дрюлік( t1) = (1800 – 1500 – 500) = (- 250),
Нанік ( t1 ) = (1800 + 500 – 1800) = (500),
Дрюлік ( t2) = (3000 – 1550 – 500) = (950),
Нанік ( t2 ) = (1800 + 500 – 3000) = (- 700),
Дрюлік ( t3 ) = (1800 – 1550) = (250),
Нанік ( t3 ) = (1800 – 1800) = (0),
Дрюлік ( t4 ) = (3000 – 1550) = (1450),
Нанік ( t4 ) = (1800 – 3000) = ( -1200),
Дрюлік ( t5 ) = (0),
Нанік ( t5 ) = (0),  
Дрюлік ( t6 ) = (3000 – 2500) = (500),
Нанік ( t6 ) = (3000 – 3000) = (0),
Дрюлік ( t7 ) = (0),
Нанік (t7 ) = (0),
Дрюлік ( t8 ) = (3000 – 2500 – 50) = (450),
Нанік ( t8 ) = (3000 + 50 – 3000) = (50). 
Ми бачимо, що ймовірність ходів є для обох гравців вигідною тільки у 8-ому випадку. Вони разом мають гарні умови для прийняття угоди. Продавець Дрюлік отримає 450 грн. чистого прибутку для себе, а покупець Нанік може зберегти 50 грн. на покупці із гарним станом та прийнятною ціною.
Тепер ми можемо побудувати наступну стратегію гри – біматричну гру.
                (1800;1800)          (1800;3000)        (3000;1800)         (3000;3000)
-125;250
-125;250
725;-350
725;-350

-125;250
125;250
500;-375
750;-375

125;0
750;-625
350;25
975;-600

125;0
1000;-625
125;0
1000;-625



ГГ
ГН
НГ
НН

У даній біматричній грі ми маємо тільки одну чисту рівновагу у стратегіях НН (3000;3000), яке не є рівновагою у позиційній грі на малюнку 1. Це дійсно так, якщо гравець Дрюлік змінить свою заплановану стратегію, до речі, він ходить першим, НН на стратегію НГ, то гравець, який правильно розрухую свої кроки, походить стратегією (3000; 1800).  Завдяки цьому виграш у продавця буде зростати від 125 грн. до 350 грн.
Тому ми будемо шукати різні варіанти. Наприклад, шукатимемо змішану
стратегію. Стратегія гравця Дрюлік (1800;1800) переважає його дві інші стратегії (1800;3000) та (3000;3000). Після чистки деяких виграшів стовбців (1800;3000) та (3000;3000) ми маємо вже нову очищену гру стратегій ГГ, НГ гравця Дрюліка, який домінують дві інші його роздуми-стратегії ГН, НН.
Тепер ми видаляємо ці дві останні стратегії, ГН та НН, і отримаємо наступну очищену біматричну гру.
                                 (1800;1800)                           (3000;1800)
-125; 250
725;-350

125;0
350;25



         ГГ  х
         НГ  1 – х
                                            у                                               1 – у
Для того, щоб знайти ймовірність х та у, треба знайти корені рівняння:
250х + 0(1 – х) = — 350х + 25(1 – х)   →  х = 1/25,
  — 125у + 725(1 – у) = 125у + 350(1 – у) →  у = 3/5.
Тепер ми маємо наступні ймовірністі:
Р гг = 1/25,                                                              q(1800;1800) = 3/5,
Р гн = 0,                                                                   q(1800;3000) = 0,
Р нг = 24/25,                                                            q(3000;1800) = 2/5,
Р нн = 0,                                                                   q(3000;3000) = 0,
В цій ситуації гравець Дрюлік очікує на такий виграш:
250 × 1/25 × 3/5 + 725 × 1/25 + 125 × 24/25 × 3/5 + 350 × 24/25 × 2/5  ≈ 159,
а очікуваний виграш гравця Нанік є таким:
250 × 1/25 × 3/5 – 350 × 1/25 + 0 × 24/25 × 3/5 + 25 × 24/25 × 2/5 = 10.
Треба зазначити, що сигнальна гра бананів дозволяє продавцю Дрюліку збільшити свій чистий заробіток з 125 грн.( без сигналів), до 159 грн.
 Тепер нам залишилось тільки знайти Байєсовську рівновагу у нашому конфлікті, тобто грі. Спочатку перетворимо змішану гру у поведінкову. Ймовірністі, приписанні крокам-позиціям D, E, F, G – це уява гравця Наніка.
14
Такий результат ми маємо на малюнку 2.

Малюнок 2.
Наступним, що ми маємо записати – Байєсовську рівновагу:
Р (П) :                                                                               Р (Д) :
1). Рг (П) = 1/25,                                                              1).  Рг (Д) = 1,
2). Рн (П) = 24/25,                                                            2). Рн (Д) = 0,
q (Г) :                                                                                 q (Н) :
1). q18000 (Г) = 3/5,                                                          1). q1800 (Н) = 1,
2). q3000 (Г) = 2/5,                                                            2). q3000 (Н) = 0.
Після сигналів відправника( продавця), у покупця складається така думка:
µ (П|Г) = µ (D) = 1/25,                                             µ (Д|Г) = µ(G) = 24/25,
µ (П|Н) = µ (E) = 1,                                                     µ (Д|Н) = µ(F) = 0.
Ми підтвердили, що у рівноважній ситуації відправник ( продавець ) дає гарантію на добрий комп’ютер, а на поганий дай ймовірним випадком із гарантією 1 на 25 комп’ютерів, тобто це дуже мала цифра. А покупець, (отримувач) у свою чергу, пропоную свою ціну 1800 грн. за комп’ютер без гарантії, а за гаджет із гарантією він призначає ціну ймовірним образом: 1800 грн. із ймовірністю 3/5 та 3000 грн. із ймовірністю 2/5.
Тепер проаналізуємо поведінку покупця, коли отримувач вже обрав собі комп’ютер, та продавець запропонував чи не запропонував гарантію.
 
Якщо продавець не відзначив свій продукт гарантією, то покупець вважає, що комп’ютер, який він обрав, є поганим. Якщо ж продавець запропонував гарантію, то у покупця складається думка, що він із ймовірністю 1/25 обрав поганий продукт, та із ймовірністю 24/25 обрав добрий.
Протягом всієї роботи я говорив про найкращу модель виграшу у конфліктній ситуації. Розбирав приклад, в якому можна проявити свої навички раціонального володіння грошима, правильного підходу до купівлі речей та мінімального контакту з лицем – представником.
Незнання правильної поведінки при купівлі якогось продукту – ключова проблема сьогоднішніх покупців. Робиться акцент на зовнішність та відношення продавців, а якість грає на продавця. Тому я і вирішив розібрати Теорію ігор, як спосіб для визначення найкращої моделі виграшу між двома гравцями у конфліктній ситуації. Я сподіваюсь, ці знання допоможуть людям орієнтуватися у соціумі, який їх оточує, та вести правильні переговори між опонентами – гравцями. Також важливо зазначити, що величезна кількість людей покупає не продукт, а «поведінку» та «зовнішність» продавця. Саме тому я вважаю, що провести опитування серед людей на тему: « Який у Вас вдома комп’ютер за зовнішньою характеристикою?» є актуальним. Я опитав на протязі всього року 17-ть людей. Отож, подивимось на розрахунки. 
П’ятеро людей мені сказали, що вдома мають поганий продукт, бо в них немає коштів, щоб придбати нових та багатофункціональний гаджет. Вони мусять користуватися тим, що в них є.
Троє людей сказали мені, що вони користуються комп’ютером, який тільки увійшов у продаж та багато зробив галасу на ринку товарів, тобто продукт є високого рівня та якості.
І нарешті, дев’ятеро з опитуваних мені сказали, що мають комп’ютер, який може показувати фільми, швидко працює з документами, але техніка не витримує багато операції та немає нових виходів під спеціальні дроти. Я можу зробити висновок, що ці комп’ютери не є новими та потужними, алі в одночас вони не є старими та неспроможніми для операцій, тобто вони є середньої
якості. Але варто зазначити те, що шість людей з дев’яти скаржалися на якість товару. Домовлялись про одне, купили друге.