Теория игр. Рынок бананов

докладчик: Боровский Денис Владимирович

руководитель: Сватула Тамара Ивановна

Раздел I
ТЕОРИЯ ИГР: от возникновения до современности
1.1.История возникновения теории
Для исследования данной теории необходимо ознакомиться с историей и основными аспектами ее возникновения. Это важно в контексте ее прогресса с первых дней в современности, поскольку на сегодняшний день Теория игр позволяет предусматривать множество возможных ситуаций в любом конфликте.
Уже в XVIII веке некоторые исследователи предлагали оптимальные стратегии. Как правило, это касалось задач ценообразования и производства, среди которых особенно выделялись работы Ж. Бертрана и А Курно. Впоследствии Э. Ласкер, Э. Цермело, Е.Борель предлагают мировые идею математической теории конфликтов.
Возникновение теории игр начинается с того, что уже в середине ХХ века базовые принципы экономической теории продемонстрировали свою несостоятельность. Критической проблемой стало отсутствие актуальной методологии принятия каких-либо шагов участниками рынка. Исследователи Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн в своих работах пришли к выводу, что специфику поведения участника рынка влияют не только его личные намерения и состояние, но и аналогичные показатели его конкурентов. Оказывается, что на момент возникновения теории игр, существующие модели принятия решений не учитывали все существующие факторы рынка, в частности, конкурентоспособность, поэтому были оторванными от реалий экономики.
В своей работе «Теория игр и экономическое поведение» Нейман и Моргенштерн сформулировали понятие «игры», как деятельности двух и более лиц, имеет условия т.н. «Выигрыша». Важно отметить, что участники такой «игры» могут использовать определенные «ресурсы» и взаимодействовать между собой. Итак, принимают любые решения по учетом поведения других участников. Авторы математически описывают средства поиска оптимальных стратегий — тех, что приводят к выигрышу.
В 1949 году выдающийся американский математик Джон Нэш, который писал
научную работу по теории игр, предположил в своей диссертации, могут существовать модели, в которых участники не конкурируют между собой, а, наоборот, кооперируются для достижения общей цели. Кроме того, ученый ввел понятие «игры с ненулевой суммой», которая предусматривала динамичность размера выигрыша. В такой модели выигрыш не является константой, его размер зависит от действий игроков.
Диссертация американского математика стала настоящим прорывом в исследовании теории игр и впоследствии Нэш был награжден Нобелевской премией. А на сегодняшний день исследуемые им модели используются во многих научных сферах: экономике, политологии, психологии, конфликтологии, юриспруденции и тому подобное.
1.2. Основные положения
Для дальнейшего исследования необходимо определиться с основными терминами, которые используются в большинстве научных работ по теории игр. Белорусский ученый М. Писарук в своей работе «Введение в теорию игр» дает следующее определение понятию «игры». «Неформально, игра — модель конфликтной ситуации, в которой принимают участие n лиц (игроков), заданные правила игры (способ принятия решений для каждого из игроков), определенные правила осуществления платежей между игроками» [5, 5].
Автор отмечает, что на сегодняшний день существует множество классификаций в теории игр, но, как правило, их различают по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимоотношений между игроками, по свойствам функций выигрыша, по количеству ходов, по информированности игроков и тому подобное.
По количеству участников игры бывают: с одним игроком, двумя игроками, n-количеством игроков.
По количеству стратегий М. Писарук разделяет игры по количеству стратегий на конечные и бесконечные. Экономический словарь Лопатникова дает следующую классификацию: «Конечные игры — класс игр, характеризуется, тем, что у каждого игрока есть определенное конечное количество альтернатив» [2; 149]. Зато бесконечные игры предусматривают условия, когда, по крайней мере, один из игроков имеет бесконечное количество стратегий.
По характеру взаимодействия выделяют Бескоалиционные и кооперативные игры. Условия бескоалиционных игр предусматривают, что участники не заключают между собой никаких соглашений. В кооперативной игре предполагается взаимодействие между игроками с целью увеличения своего выигрыша.
По количеству ходов различают одноходовые и многоходовые игры. Отдельно следует отметить позиционные игры — модели, где участники последовательно делают ходы, а их выигрыши зависят от стратегии выбора ходов.
В контексте исследования Теории игр важно вспомнить о понятии «равновесия». Равновесие за Джоном Нэшем — ситуация, в которой ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш при единоличной изменения стратегии. Иными словами, равновесие — ситуация, при которой лучшей реакцией на действия оппонента есть уже действующая стратегия участников. Примеры равновесия Нэша очень часто встречаются на экономическом рынке. Например, существуют две фирмы-олигополиста — А и В. При условии, если они договорятся одновременно и ровно увеличить стоимость своей продукции, обе фирмы получат чистую прибыль, скажем, на 20%. Но существует реальный риск того, что эти договоренности могут быть нарушены любой из фирм, поскольку они, прежде всего, являются конкурентами. Так, если фирма А нарушит договор и снизит цены, то она получает чистую прибыль на 30%. В то время фирма В получит лишь 10% чистой прибыли. Поэтому в реальной ситуации фирмы корт держать цены относительно низкими, но гарантированно получать, скажем, 15% прибыли и не рисковать получить меньше.
В контексте исследования Теории игр следует помнить, что развитие игры во времени регламентировано рядом последовательных этапов — ходов. Ходом называется выбор участником одного из возможных вариантов в конкретной ситуации. Ходы бывают личные и случайные. Примером личного хода служит любая походка фигурой в шахматах. Примером случайного может быть любая комбинация, не зависит непосредственно от участника: подбрасывание монеты, игровой кости, тому подобное. Важно отметить, что существуют игры, состоящие только из случайных ходов (азартные игры), и только из личных ходов (шахматы и шашки).
Большинство существующих игр, имеющих практические аспекты, не относящихся к классу игр с полной информацией. Неизвестность относительно действий оппонента, в основном, является основополагающим фактором любой конфликтной ситуации.
Одним из ключевых терминов теории игр является понятие «стратегия». «Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор участника при каждом личном ходе с учетом ситуации, сложившейся в процессе игры» [Купалова И. «Теория экономического анализа»; 8].
Обычно, выбор при каждом личном ходе принимается участником, непосредственно, в процессе игры и в зависимости от ситуации. Но также возможно предположить, что все решения были предусмотрены участником заранее. Теоретически это возможно: участник заблаговременно составил перечень всех возможных ситуаций и предсказал свое решение для каждой из них.
Если такая система выбора хода имеет место практически ее можно считать стратегией.
Использование стратегии — важный аспект функционирования экономического рынка. В работе мы будем исследовать стратегию, как средство создать идеальную модель для всех участников «игры».
РАЗДЕЛ II
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ АСПЕКТЫ
2.1. Стратегия, как способ создания идеальной модели «игры»
Каждый участник «игры» имеет целью «выигрыш». Как правило, ни один из участников не намерен проиграть (если это не обусловлено стратегией) в игре. А значит, каждый участник будет стремиться с помощью ходов получить преимущество в свою пользу. Но возможно удовлетворить всех игроков одновременно?
Согласно Теорией игр абсолютно удовлетворить всех участников невозможно. Однако добыть максимально возможное (удовлетворительную) пользу из ситуации для всех сторон участников вполне реально. Теория игр исследует также модели, которые позволяют максимально удовлетворить всех «игроков».
Вышеупомянутый аспект особенно актуален для экономики. Рассмотрим ситуацию на примере «продавец-покупатель». Я предлагаю свою игру, которая предусматривает идеальный выигрыш в конфликтной ситуации между двумя игроками.
Представим себе, что личность по имени Наник решила купить себе компьютер. Гаджет не может быть новым, потому что у лица Наник нет денег, чтобы купить новый компьютер из магазина, поэтому он обратился к другу по имени Дрюлик. Дело в том, что Дрюлик имеет равную часть плохих и хороших гаджетов для использования. Скажем, компьютер, который хорошо работает, быть называться авокадо, и иметь цену 3000 грн. при остаточной стоимости 2500 грн., а компьютер, который работает плохо, называется банан, и стоит 1800 грн. при остаточной стоимости 1550 грн. Покупатель не имеет никаких свидетельств о технологиях, которые предоставляет продавец. Поэтому Нанику надо будет выбрать себе компьютер случайным образом: с вероятностью ½, что он выберет хорошей компьютер, и с вероятностью ½, что выберет плохой компьютер для использования. Поэтому покупатель, который знает лучшие модели игры в конфликтной ситуации, будет предлагать продавцу среднюю цену (3000 + 1800): 2 = 2400 грн. Если выбран гаджет окажется хорошим, то продавец Дрюлик НЕ
захочет отдавать компьютер, потому что он останется в проигрышной ситуации, его
доход будет составлять 2400 — 2500 = — 100 грн. окажется отрицательным числом. Если же выбранный компьютер окажется плохим, то продавец Дрюлик отдаст его за желаемую сумму, его доход будет составлять 2400 — 1550 = 850 грн. С этой стратегии я хочу вывести формулу.
Чтобы узнать качество товара, нужно найти среднюю цену для предложения продажи.
( а + в ): 2 = с
Где а — цена первого объекта, в — цена второго объекта, с — средняя цена.
Поскольку покупатель может купить плохой компьютер средней цены, то ему не выгодно покупать за 2400 грн., Если он может купить его за 1300 грн. При таком раскладе действий, Наник предлагать всегда 1550 грн. При таком стечении обстоятельств средний доход продавца будет составлять
0,5 ( 1550 – 1300 ) + 0,5 × 0 = 125,
Хотя продавец рассчитывает на другую прибыль
0,5 ( 1550 – 1300 ) + 0,5 ( 3000 – 2500 ) = 125 + 250 = 375
при полной информации покупателей или покупке всех видов вещей. Но согласно теории, покупатель останется в беспроигрышной ситуации. Тогда продавец должен будет снизить цену на компьютеры или совсем перестать продажи. Поэтому продавцу нужно каким-то образом лучше информировать (давать сигналы), чтобы заинтересовать покупателя.
2.2 Ситуация на примере «продавец — покупатель». Сигнальная игра «Рынок бананов»
По-прежнему считаем, что продавец Дрюлик имеет одинаковое количество хороших и плохих компьютеров, и, что покупатель не может различить качество этих вещей. Чтобы обеспечить себе выгодную сделку, Дрюлик решил давать на некоторые гаджеты, продает, гарантию на один год, которая полностью закрывает расходы на ремонт. Известно, что на протяжении всего года ремонт плохого компьютеру будет стоить 500 грн., А хорошего — 50 грн. Потому исправные компьютеры на протяжении года не требуют ремонта.
Наша игра будет состоять следующим образом: сначала покупатель выбирает гаджет.
Это случайный ход, потому Наник не может отличить плохой компьютер (банан) от хорошей (авокадо). После этого продавец говорит, что дает гарантию на год или не дает. Затем покупатель предлагает свою цену 1250 грн. или 3000грн. Сделка состоится за исключением случая, когда за хороший компьютер была предложена цена 1550 грн.
В остальных мы получаем конечную сигнальную игру, в которой много типов отправителя Т = (П, Д), множество типов отправителя Б = (Г, Н), а множество действий получателя А = (1550, 3000), где в определение для типов, сообщений и действий следующие: П — плохой компьютер, Д — хороший компьютер; Г — компьютер продается с гарантией, Н — нет гарантий на компьютер; 1550 — предложить цену 1550 грн., 3000 — предложить цену 3000 грн.
Воображение получателя в типах отправителя получим следующие:
µ( П ) = µ( Д ) = ½ .
Представим нашу сигнальную игру во таком виде, как на рисунке 1.  
Кстати, для лучшего восприятия вычислений, введем названия. Добрый компьютер, который имеет цену 3000 грн., Будет называться Д1, 2500 грн. — Д2. Итак, плохой компьютер с ценой 1800 грн. — П1, а с 1550 грн. — П2. Надо обратить внимание, что при исчислении лучшей ситуации для игроков, мы не забываем о компенсации продавца на ремонт компьютера:
Дрюлик (t1) = (П1 — П2 — Г) = (не выгодно),
Наник (t1) = (П1 + Г — П2) = (выгодно),
Дрюлик (t2) = (Д1 — П2 — Г) = (выгодно),
Наник (t2) = (П1 + Г — Д) = (не выгодно),
Дрюлик (t3) = (П1 — П2) = (выгодно),
Наник (t3) = (П1 — П1) = (не выгодно),
Дрюлик (t4) = (Д1 — П2) = (выгодно),
Наник (t4) = (П1 — Д1) = (не выгодно),
Дрюлик (t5) = (0),
Наник (t5) = (0),
Дрюлик (t6) = (Д1 — Д2) = (выгодно),
Наник (t6) = (Д1 — Д1) = (не выгодно),
Дрюлик (t7) = (0),
Наник (t7) = (0),
Дрюлик (t8) = (Д1 — Д2 — Н) = (выгодно),
Наник (t8) = (Д1 + Н — Д1) = (выгодно).
Теперь подставим в эти формуле данные числа и получим:
Дрюлик (t1) = (1800 — 1500 — 500) = (- 250),
Наник (t1) = (1800 + 500 — 1800) = (500),
Дрюлик (t2) = (3000 — 1550 — 500) = (950),
Наник (t2) = (1800 + 500 — 3000) = (- 700),
Дрюлик (t3) = (1800 — 1550) = (250),
Наник (t3) = (1800 — 1800) = (0),
Дрюлик (t4) = (3000 — 1550) = (1450),
Наник (t4) = (1800 — 3000) = (-1200),
Дрюлик (t5) = (0),
Наник (t5) = (0),
Дрюлик (t6) = (3000 — 2500) = (500),
Наник (t6) = (3000 — 3000) = (0),
Дрюлик (t7) = (0),
Наник (t7) = (0),
Дрюлик (t8) = (3000 — 2500 — 50) = (450),
Наник (t8) = (3000 + 50 — 3000) = (50).
Мы видим, что вероятность ходов является для обоих игроков выгодной только в восьмом случае. Они вместе имеют хорошие условия для принятия соглашения. Продавец Дрюлик получит 450 грн. чистой прибыли для себя, а покупатель Наник может сохранить 50 грн. на покупке с хорошим состоянием и приемлемой цене.
В данной биматричных игре мы только одну чистую равновесие в стратегиях НН (3000; 3000), которое не является равновесием в позиционной игре на рисунке 1. Это действительно так, если игрок Дрюлик изменит свою запланированную стратегию, кстати, он ходит первым, НН на стратегию НГ, то игрок, который правильно розрухую свои шаги, происходит стратегией (3000; 1800). Благодаря этому выигрыш у продавца будет расти от 125 грн. до 350 грн.
Поэтому мы будем искать разные варианты. Например, искать смешанную
стратегию. Стратегия игрока Дрюлик (1800; 1800) преобладает его две другие стратегии (1800; 3000) и (3000; 3000). После чистки некоторых выигрышей столбцов (1800; 3000) и (3000; 3000) мы уже новую очищенную декабря стратегий ГГ, НГ игрока Дрюлика, который доминируют две другие его размышления-стратегии ГН, НН.
Теперь мы удаляем эти две последние стратегии, ГН и НН, и получим следующую очищенную биометрическую игру.
Для того, чтобы найти вероятность х и у, надо найти корни уравнения:
250х + 0(1 – х) = — 350х + 25(1 – х)   →  х = 1/25,
  — 125у + 725(1 – у) = 125у + 350(1 – у) →  у = 3/5.
Теперь имеем следующие вероятности:
Р гг = 1/25,                                                              q(1800;1800) = 3/5,
Р гн = 0,                                                                   q(1800;3000) = 0,
Р нг = 24/25,                                                            q(3000;1800) = 2/5,
Р нн = 0,                                                                   q(3000;3000) = 0,
В этой ситуации игрок Дрюлик рассчитывает на такую прибыль:
250 × 1/25 × 3/5 + 725 × 1/25 + 125 × 24/25 × 3/5 + 350 × 24/25 × 2/5  ≈ 159,
Аожидания выигрыша Наника такие:
250 × 1/25 × 3/5 – 350 × 1/25 + 0 × 24/25 × 3/5 + 25 × 24/25 × 2/5 = 10.
Надо отметить, что сигнальная игра бананов позволяет продавцу Дрюлику увеличить свой чистый заработок с 125 грн. (Без сигналов), до 159 грн.
  Теперь нам осталось только найти байесовский равновесие в нашем конфликте, то есть игре. Сначала преобразуем смешанную игру во поведенческую. Вероятность, предписанная шагам-позициям D, E, F, G — это воображение игрока Наника.
Следующее, что мы должны записать — Байесовское равновесие:
Р (П) :                                                                               Р (Д) :
1). Рг (П) = 1/25,                                                              1).  Рг (Д) = 1,
2). Рн (П) = 24/25,                                                            2). Рн (Д) = 0,
q (Г) :                                                                                 q (Н) :
1). q18000 (Г) = 3/5,                                                          1). q1800 (Н) = 1,
2). q3000 (Г) = 2/5,                                                            2). q3000 (Н) = 0.
После сигналов отправителя (продавца), у покупателя складывается такое мнение:
µ (П|Г) = µ (D) = 1/25,                                             µ (Д|Г) = µ(G) = 24/25,
µ (П|Н) = µ (E) = 1,                                                     µ (Д|Н) = µ(F) = 0.
Мы подтвердили, что в равновесной ситуации отправитель (продавец) дает гарантию на хороший компьютер, а на плохой — вероятный случай с гарантией 1 на 25 компьютеров, то есть это очень маленькая цифра. А покупатель, (получатель) в свою очередь, предлагаю свою цену 1800 грн. за компьютер без гарантии, а за гаджет с гарантией он назначает цену вероятным образом: 1800 грн. с вероятностью 3/5 и 3000 грн. с вероятностью 2/5.
Теперь проанализируем поведение покупателя, когда получатель уже выбрал себе компьютер, и продавец предложил или не предложил гарантию.
Если продавец не отметил свой продукт гарантией, то покупатель считает, что компьютер, который он выбрал, является плохим. Если же продавец предложил гарантию, то у покупателя складывается мнение, что он с вероятностью 1/25 выбрал плохой продукт, и с вероятностью 24/25 выбрал хороший.
На протяжении всей работы я говорил о лучшей модель выигрыша в конфликтной ситуации. Разбирал пример, в котором можно проявить свои навыки рационального владения деньгами, правильного подхода к покупке вещей и минимального контакта с лицом — представителем.
Незнание поведения при покупке какого-либо продукта — ключевая проблема сегодняшних покупателей. Делается акцент на внешность и отношение продавцов, а качество играет на продавца. Поэтому я и решил разобрать Теорию игр, как способ для определения наилучшей модели выигрыша между двумя игроками в конфликтной ситуации. Я надеюсь, эти знания помогут людям ориентироваться в социуме, который их окружает, и вести правильные переговоры между оппонентами — игроками. Также важно отметить, что огромное количество людей покупает не продукт, а «поведение» и «внешность» продавца. Именно поэтому я считаю, что провести опрос среди людей на тему: «Какой у Вас дома компьютер внешней характеристикой?» является актуальным. Я опросил в течение всего года 17-ть человек. Итак, посмотрим на расчеты.
Пять человек мне сказали, что дома имеют плохой продукт, потому что у них нет средств, чтобы приобрести новых и многофункциональный гаджет. Они должны пользоваться тем, что у них есть.
Три человека сказали мне, что они пользуются компьютером, который только вошел в продажу и много сделал шума на рынке товаров, то есть продукт высокого уровня и качества.
И наконец, девять из опрошенных мне сказали, что имеют компьютер, который может показывать фильмы, быстро работает с документами, но техника не выдерживает много операции и нет новых выходов под специальные провода. Я могу сделать вывод, что эти компьютеры не являются новыми и мощными, но одновременно они не являются старими, непригодными для операций, то есть они являются среднего качества. Но стоит отметить, что шесть человек из девяти жаловались на качество товара. Договаривались об одном, купили совсем иное.